Problemas de razones trigonométricas: COSENO

Hecho por: González Salud Santiago

Grupo: 208

17. El pie de una escalera de 10m, apoyada contra una pared, queda a 3m de ésta. ¿Qué ángulo forma la escalera con el suelo?

Como la pared forma un ángulo de 90° con el piso es fácil ver que hablamos de un triángulo rectángulo, por lo tanto podremos usar las leyes trigonométricas sin problemas, en este caso contamos con el lado adyacente del ángulo buscado y la hipotenusa, por lo tanto lo que utilizaremos será el coseno, ya que Cos(x)=Ca/Hip, sustituyendo esto nos daría Cos(ACB)=3/10=0.3, ahora que ya conocemos el coseno del ángulo, para obtener el valor exacto del ángulo buscado deberemos de hacer lo siguiente, arccos(0.3), lo que equivaldría a Cos^(-1)(0.3)=72.54239°

18. Una cuerda subtiende un arco de 48°. ¿Cuál es la longitud de su flecha,  si el radio mide 5cm?

Es fácil notar que tanto AO, BO, CO son radios, mientras que BC es la flecha que buscamos, es fácil notar que ya que el arco BC es de 48°, pues el ángulo BOC es también de 48°, luego, como sabemos que tanto BO, como CO son radios, es fácil notar que el triángulo OBC es isósceles, por lo tanto los ángulos BCO y CBO son iguales, por lo tanto, los mismo equivalen a (180°-48°)/2=76°, y ahora que ya contamos con la medida de todos los ángulos y de 2 de los lados, será muy fácil obtener el tercer lado, por ejemplo puede ser con la ley del coseno, la ley del seno, sin embargo por la raíz de estos problemas tendré que utilizar la ley del coseno, BC^2=CO^2+BO^2-2*(BC*CO)*cos(48°), es decir, BC^2=5^2+5^2-2*5*5*cos(48°)=25+25-2*25cos(48)=50-50cos(48)=50-50cos(0.66913)=50-33.45653=16.54346, y ya finalmente solo queda sacara la raíz cuadrada de esto, lo que seria aproximadamente 4.06736643 cm

19. ¿Cuál es la longitud de la apotema y el área de un eneágono regular inscrito en una circunferencia de 24 cm de radio?

El apotema lo obtendremos mediante el coseno, ya que contaremos con el ángulo adyacente y su respectiva hipotenusa, el ángulo adyacente equivaldrá a la mitad del ángulo interior del eneágono (es cuál es de 40°), será de 20°, y la hipotenusa será lo mismo que un radio, por lo tanto su valor será de 24cm, por tenemos lo siguiente Cos(20°)=apotema/24, es decir, apotema=24cos(20°), lo es aproximadamente a 22.55262289 cm.

Para el área tendremos que obtener el valor del lado, empezaremos sacando la mitad de un lado, ya que este es la base de un triángulo la cual obtendremos mediante el seno (sen(x)=Co/Hip), es decir, sen(20°)=Co/24, es decir, el Co=24sen(20), por lo tanto el lado equivale a 48sen(20), lo que aproximadamente es 16.41696687, y ahora, para obtener el área, simplemente multiplicaremos esto por 9 para obtener el perímetro, multiplicaremos por la altura o lo que es lo mismo el apotema y dividiremos sobre 2, es decir A=9*16.41696687*22.55262289/2=3332.21096861 u^2.

20. La base de un triángulo isósceles mide 4cm, y cada uno de los lados iguales es de 5cm. Calcular cada uno de los ángulos de la base.

Esto se obtendrá mediante la ley del coseno AB^2=BC^2+CA^2-2*(BC*CA)*cos(x), es decir, 5^2=4^2+5^2-2*(4*5)*cos(x), 25=16+25-40cos(x)=41-40cos(x), aquí solo despejaremos el cos(x), lo que nos queda 40cos(x)=41-25=16, pasamos el 40 al otro lado, cos(x)=16/40=0.4, y ahora finalmente gracias al arccos obtendremos el valor buscado, arccos(0.4)=cos^(-1)(0.4)=66.42182152°

21. Para obtener la longitud de la huerta, se han medido el ángulo CAB, que es de 33°, y la distancia AC=276m. ¿Qué longitud tiene la huerta?

En este caso si queremos obtener el lado AB necesitaremos utilizar el coseno,  ya que Cos(x)=Ca/Hip, es decir Cos(33°)=Ca/276, por lo tanto Ca=276cos(33°)=231.47307675, sin embargo, si queremos obtener el área tendremos que obtener el lado BC, esto por comodidad mediante la ley de Seno BC/sin(∠BAC)=AC/sin(∠ABC), CB=276*sin(33°)/sin(90)°, lo que nos da un aproximado de BC=150.32037366, por lo tanto el área es AB*BC/2=231.47307675*150.32037366/2, lo que nuevamente nos da un aproximado de 17397.55969 u^2.

22. Un barco, navegando desde P hacia el noreste, ha llegado al punto A, distante 25km de P. Supuesta plana la superficie de las aguas, ¿A qué distancia AB se halla de la dirección norte-sur del punto de partida?.

Este problema se puede solucionar de 2 maneras diferentes, la primera y la más sencilla creo que seria por medio del teorema de Pitágoras ya que es fácil notar que BP=BA, sin embargo, por condiciones del problema he de resolverlo con las leyes trigonométricas.

Primero, al saber que el ∠APE=45°, es fácil notar que ∠APB también será de 45° ya que estos 2 son complementarios, y ahora que ya tenemos este valor, será sencillo calcular la medida de AB mediante la ley del coseno (Cos(x)=Co/Hip), simplemente nos quedaría Cos(45°)=Co/25, despejaremos el Co (o lo que es lo mismo, AB), lo que nos queda Co=25cos(45°), lo que nos da un valor de (25√2)/2.