Ecuaciones trigonométricas

Hecho por: González Salud Santiago                               Grupo: 208

1. sen α * sec α = tan α

Utilizaré la función: tan α = sen α / cos α, donde podemos observar (en otra función) que cos α = 1 / sec α, así que simplemente sustituimos tan α = sen α / (1 / sec α), donde es fácil ver que tan α = sen α * sec α, con lo que podemos demostrar que es verdadero.

2. (sec α + 1)(sec α - 1) = tan^2 α

Lo primero que se me ocurrió fue sacar el valor de la multiplicación en el lado izquierdo, lo que queda como sec^2 α + sec α - sec α - 1, lo que simplemente es sen^2 α - 1, que, si observamos, sabemos que tan α = √sec^2 α - 1, y, si elevamos esta ecuación al cuadrado nos queda tan^2 α = (√sec^2 α - 1)^2, lo que cancela la raíz cuadrada, y nos queja con lo que ya teníamos, es decir, sec^2 α -1, con lo que confirmamos la igualdad.

3. cos α * csc α = cot α

Simplemente podemos fijarnos que cot α = cos α / sen α (es una identidad trigonométrica), con esto, recordando que sen α = 1 / csc α, lo sustituimos en la ecuación, lo que nos deja con cot α = cos α / (1 / csc α), es decir, cot α = cos α * csc α, lo que comprueba que la ecuación dada es correcta.

4. (1 - cos α)*(1 + cos α) = sen^2 α

Lo primero que haré será simplificar los valores, lo que me queda como cos^2 α - cos α + cos α - 1, lo que queda como cos^2 - 1 = se^2 α, y luego, si nos acordamos de las identidades trigonométricas, tenemos que sen α = √cos^2 α - 1, y si elevamos esto al cuadrado nos queda sen^2 = (√cos^2 α - 1)^2 = cos^2 α - 1, lo que confirma la igualdad.

5. sec α * cot α = csc α

Sabemos que csc α = 1 / sen α, por lo tanto debemos de demostrar que 1 / sen α = sec α * cot α, sabemos que cot α = cos α / sen α, por lo tanto sustituimos, 1 / sen α = sec α * cos α / sen α, luego sabemos que cos α = 1 / sec α, por lo tanto 1 / sen α = sec α * 1 / sec α * sen α = 1 / sen α, lo que confirma la igualdad, pues 1=1. *se que lo hice más largo de lo necesario, pero fue lo primero que se me ocurrió*.

6. (1 + csc α)*(1 - csc α) = cot^2 α

Nuevamente aquí simplemente evaluamos y simplificamos la ecuación, lo que nos deja con cot^2 α = 1 - csc α + csc α - csc^2 α = 1 - csc^2 α, si nos fijamos sabemos que cot α = √csc^2 α - 1, por lo tanto al elevar al cuadrado tenemos cot^2 α = csc^2 α - 1, sin embargo esto es falso, pues csc^2 α - 1 no es lo mismo que 1 - csc^2 α, sin embargo, recordando tenemos que 1 - csc^2 α = cot^2 α, recordando que cot^2 α = csc^2 α - 1, que es justo lo que escribí arriba, podemos tener 1 - csc^2 α - cot^2 α = 0, y sustituyendo, 1 - csc^2 α - (csc^2 α - 1) = 1 - csc^2 α - csc^2 α + 1 = 2 - 2csc^2 α = 0, es decir, 2csc^2 α = 2, es decir, csc^2 α = 1, con lo cual es sencillo deducir que csc α = 1, -1, que si sacamos el valor de α en la calculadora, llegamos a que α equivale a 90°.

7. sen^2 α + 3 = 4 - cos^2 α

Lo primero que haremos será simplificar los términos, lo que nos queda como sen^2 α = 1 - cos^2 α, aquí ocurre lo mismo que en problema anterior, donde llegamos a sen^2 α = (√cos^2 α - 1)^2 = cos^2 α - 1, lo que no es lo mismo a lo que teníamos, sin embargo, quiero obtener el valor de α, haciendo lo mismo que en problema anterior sen^2 α = 1 - cos^2 α, si pasamos el sen al otro lado tenemos, 0 = 1 - cos^2 α - sen^2 α = 1 - cos^2 α - (cos^2 α - 1) = 1 - cos^2 - cos^2 + 1 = 2 - 2cos^2 α, si pasamos el 2 al otro lado tenemos, 2cos^2 α = 2,  dividimos todo entre 2, cos^2 α = 1, que es igual a 0°, 360° o 360n°.

8. (tan α / cot α) = tan^2 α

Lo primero que se me ocurrió fue despejar cot α, o mas bien, simplificar la tan, lo que me queda como 1 / cot α = tan^2 α / tan α = tan α, lo que es exactamente una de las igualdades trigonométricas que tenemos (tan α = 1 / cot α), por lo tanto es verdadero.

9. 2 - tan^2 α = 3 - sec^2 α

En estos casos lo primero que hay que hacer es simplificar los valores, lo que queda como sec^2 α - 1 = tan^2 α, y si nos fijamos tenemos que tan^2 α = (tan α)^2 = (√sec^2 α - 1)^2 = sec^2 α - 1, lo que es correcto, por lo tanto, la igualdad es verdadera.

10. cos^2 α = (cos α / sec α)

Aquí lo primero que realizaremos será simplificar los términos cos, lo que nos deja con cos^2 α / cos α = cos α = 1 / sec α, lo que es exactamente una de las identidades trigonométricas, por lo tanto es verdadero.

11. (2 / sen α) = (tan α / 1 + sec α) - (tan α / 1 - sec α)

Bueno esta ya es una ecuación un poco más compleja, lo que se me ocurre primero fue expresar las fracciones derechas como fracciones con igual denominador, o pasar el sen α al otro lado, pero después de meditarlo unos segundo recordé que tan α = 1 / cot α, y después sustituimos, 2 / sen α = (1 / cot α) / (1 + sec α) - (1 / cot α) / (1 - sec α) = 1 / (cot α + csc α) - 1 / (cot α - csc α) = -2csc α / cot^2 α - csc^2 α, y utilizando la identidad pitagórica (csc^2 α = 1 + cot^2 α), y con esto llegamos a -2csc α / -1, es decir, 2csc α, ahora que ya sabemos que toda la parte derecha de la ecuación equivale a 2csc α, y si nos acordamos, csc α= 1 / sen α, y como tenemos 2 / sen α, tenemos que del lado izquierdo tenemos 2csc α, lo que es exactamente lo mismo que del lado derecho, por lo tanto, la ecuación es correcta y verdadera.

12. sen^2 α + 1 = 2 - cos^2 α

Lo primero que debemos de hacer es simplificar los términos semejantes, lo que nos queda como sen^2 α = 1 - cos^2 α, y luego, recordando que sen α = √1-cos^2 α, por lo tanto es fácil ver que sen^2 = (√1-cos^2 α)^2 = 1 - cos^2 α, que es justo que lo teníamos, por lo tanto, llegamos a la conclusión de que la ecuación es verdadera.

13. (sec α - tan α)*(sec α + tan α) = 1

Lo primero que haré será obtener el producto del lado izquierdo, el cual es fácilmente notable que equivale a sec^2 α - tan^2 α = 1, aquí solo pasamos a la tan al otro lado, lo que nos queda sec^2 α = 1 + tan^2 α, y, recordando una de las identidades trigonométricas (sec α = √1 + tan^2 α) tenemos que sec^2 α = (√1 + tan^2 α)^2 = 1 + tan^2 α, que confirma nuestra igualdad.

14. (cos α - sen α)^2 = 1 - 2 sen α * cos α

Lo primero que haremos será simplificar todos los datos, lo que nos queda como, cos^2 α - 2cos α * sen α + sen^2 α = 1 - 2 * sen α * cos α, pasamos el 2sen α * cos α al otro lado y nos queda: cos^2 α + sen^2 α = 1, lo cual es una propiedad trigonométrica, que dice, cos α + sen α = 1, o también se puede demostrar por el teorema pitagórico, pero bueno, sea como sea, ya comprobamos que la ecuación es verdadera.

15. (1 / sen α * cos α) = tan α + cot α

Lo primero que se me ocurre es pasar la tangente y cotangente a seno y coseno, de esta manera, 1/sen α * cos α = (sen α / cos α) + (cos α /sen α) =  (sen^2 α + cos^2 α) / (cos α * sen α), y luego simplemente pasamos el sen α * cos α del lado izquierdo al otro lado, cancelando la fracción, lo que nos queda, 1 = sen^2 α + cos^2 α, y llegamos a lo mismo de la ecuación anterior, por lo tanto terminamos con que la igualdad es correcta.

16. tan α + cot α = (1 / sen α * cos α)

Para terminar con las igualdades tenemos este problema, en el cual tenemos lo mismo que el problema anterior, es realmente necesario explicarlo?, bueno, solo copiaré y pegaré mi respuesta cambiando unos ligeros detalles: ¨Lo primero que se me ocurre es pasar la tangente y cotangente a seno y coseno, de esta manera, 1/sen α * cos α = (sen α / cos α) + (cos α /sen α) =  (sen^2 α + cos^2 α) / (cos α * sen α), y luego simplemente pasamos el sen α * cos α del lado derecho al otro lado, cancelando la fracción, lo que nos queda, 1 = sen^2 α + cos^2 α, y llegamos a lo mismo de la ecuación anterior, por lo tanto terminamos con que la igualdad es correcta¨.

Se que es algo feo y confuso, pero este es un dibujo que hice en un programa de PC, además de que me sirvió, por lo tanto quise ponerlo aquí:

*Cada ángulo en O de los triángulos rectángulos difiere en 30°

1. 2 sen α - 1 = 0.                             Sol = 30°, 150°

Lo primero que debemos hacer es pasar el -1 al otro lado, lo que nos queda como 2sen α = 1, y luego, finalmente pasamos el 2 al otro lado, lo que nos deja con sen(α)=1/2, por lo tanto para conocer el valor de α, tenemos que obtener el valor en la calculadora, con α=arcsen(1/2), o sen^-1 (1/2), lo que equivale a 30°, y luego, para obtener el otro valor, simplemente observé mi tabla, y simplemente la recta de los 30° (en relación al diámetro que corresponde al seno) termina donde empiezan los otros 150°, por lo tanto la otra solución posible es 150°.

2. 2 sen χ - √3 = 0                            Sol = 60°, 120°

Este problema es similar al anterior, lo primero que hacemos será pasar la √3 al otro lado, esto nos queda como 2 sen χ =, luego pasaremos el 2, o lo que es lo mismo, dividiremos ambos miembros de la ecuación en 2, obteniendo sen χ = (√3)/2, y aquí simplemente falta buscar en la calculadora el valor de arcsen ((√3)/2), o lo que es lo mismo sen^-1 (((√3)/2), lo que equivale a 60°, sin embargo, para obtener el otro valor posible de χ, debemos de fijarnos en nuestro dibujo cual es la recta que corresponde a los 60° en relación al diámetro correspondiente al seno, y este es 120°, por lo tanto, las 2 posibles soluciones son 60° y 120°

3. csc γ - 2 = 0                                  Sol = 30°, 150°

Este problema es similar al primero, solo que en vez de sen tenemos csc, realmente es muy simple, pasamos el -2 al otro lado, y nos queda csc γ = 2, ahora que ya sabemos cuánto vale csc γ, simplemente para obtener γ tenemos que hacer γ=arccsc (2) = csc^-1 (2), y esto lo podemos obtener el la calculadora o simplemente en una tabla trigonométrica, pues es muy simple, el resultado es 30°, y, como estamos hablando de la cosecante que es el inverso multiplicativo del seno, realizamos lo mismo que en los pasos anteriores y llegaremos a que 150° es su opuesto, además, algo que noté, cuando hablamos del seno, el otro valor será igual a 180° - x, y al hablar del coseno tenemos que el otro valor será igual a 360° - x

4. cot χ - 1 = 0                                  Sol = 45°, 225°

Lógicamente lo primero que haremos será pasar el -1 al otro lado, dejándonos una expresión muy simple, cot χ = 1, y ahora que ya sabemos cuánto vale la cot χ, solamente queda obtener χ, de esta manera χ = arccot (1) = 45°, y, para obtener el otro valor cuando hablamos de la tangente, podemos fijarnos en nuestra tablita, o por medio de lo que deduje por cuenta propia, el otro valor de la tangente será igual al que teníamos más 180°, es decir, el otro valor posible es de 225°.

5. 2 cos α + √3 = 0                           Sol = 150°, 210°

Lo primero que debemos de hacer es despejar cos α, para esto, pasaremos el √3 al otro lado y luego el 2 que está multiplicando a cos α, dejándonos con cos α = √3/2, que, si nos fijamos en nuestra calculadora (con lo mismo de siempre, arccos (√3/2)), obtendremos 150°, sin embargo, para obtener el otro valor deberemos de buscar y fijarnos en nuestro dibujo, o…, podemos simplemente irnos a lo que escribí en el ejercicio 3, y hacer la operación, 360° - 150° = 210°, que es el otro valor posible

 

6. 3 tan^2 χ - 1 = 0                          Sol = 30°, 330°, 150°

Como todos los ejercicios anteriores buscaremos despejar la tan^2 χ, y esto se obtiene pasando el -1 al otro lado, y luego el 3 que está multiplicando a la tan^2 χ, esto nos queda como tan^2 χ = 1 / 3, sin embargo todavía falta un paso, tan^2 χ se encuentra elevado a 2, por lo tanto, deberemos de pasar esa potencia al otro lado en forma de raíz, lo que nos deja con: tan χ = √(1 / 3) = √1 / √3, y como √1=1, tenemos que tan χ = 1 / √3, sin embargo, hemos de recordar que para una raíz cuadrada hay 2 soluciones, generalmente una positiva y una negativa, por lo tanto, además de tener 1 / √3, también tendremos que considerar (-1 / √3), así que para obtener el valor de χ empezaremos con el primer valor, donde se puede obtener como arctan (1 / √3) = 30°, y como estamos hablando de la tangente, también puede valer lo mismo que 30°+180°, es decir 210°, y ahora, con el otro lado, como tenemos lo mismo pero en negativo, tendremos que su valor principal será -30°, por lo tanto el otro valor será de -30°+180°=150°, y como no tomamos en cuenta los valores negativos, solo tomaremos en cuenta el 150°

 

7. 2 cos^2 χ - cos χ - 1 = 0               Sol = 60°, 180°, 300°

Aquí lo más sencillo se me hizo simplemente irnos por lo sencillo, imaginemos que cos χ = n, por lo tanto tenemos 2n^2 – n – 1, una ecuación de segundo grado, aquí simplemente podemos hacer la famosa ecuación general donde n = (-1 ± (√(-1)^2-4*(2)*(-1)))/2(2) = (-1± (√1-(-8)))/4 = (-1± (√1+8))/4 = (-1± (√9))/4 = (-1±3)/4, ahora, para n₁ = (-1+3)/4 = 2/4 = 1 / 2, y para n₂ = (-1-3)/4 = -4/4 = -1, ahora que ya tenemos los valores simplemente regresaremos los cosenos, para el primer valor donde cos (χ) = 1 / 2, tendremos que χ = arccos (1 / 2), es decir, 60°, y ahora que ya tenemos este valor, para conocer su correspondiente, debemos de a 360° restarle los 60°, dándonos 300°, ahora, para el segundo valor posible de cos (χ) = -1, tenemos que arccos (-1) = 180°, y para este… no podemos obtener otro valor, pues tanto cuando le sumamos 180°, o le restamos ese valor a 360° nos da lo mismo.

 

8. sec^2 α = 4 / 3                             Sol = 150°, 210°, 30°, 330°

Aquí ya tenemos todo servido y solo queda comer, pasamos la potencia al cuadrado al otro lado, lo que nos da sec α = √(4 / 3)= √4 / √3 = 2 / √3, o lo que es lo mismo como para poder obtener el valor en una tabla trigonométrica común, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por √3 / √3, lo que nos deja con 2√3 / 3 y aquí simplemente queda investigar en la tabla o en una calculadora, el valor de arcsec (2√3 / 3), lo que nos da 30°, y como hablamos de la sec , es decir, lo opuesto al coseno, ya sabemos cómo obtendremos los demás valores, en este caso se obtiene con 360°-30°=330°, además, debemos recordar que hablamos de una secante al cuadrado, por lo tanto hay otra respuesta la cual se obtiene cuando α = arcsec (-2√3 / 3), que equivale a -30° o lo que es semejante, 150°, y para el otro valor simplemente con 360° - 150° = 210° lo obtenemos, ya con esto habremos completado este ejercicio.

 

9. 2 cos^2 χ + 2 cos χ = 0                Sol = 90°, 180°, 270°

Aquí lo primero que se me ocurre es una ecuación cuadrática, para hacerlo más sencillo imaginemos que cos χ = n, entonces sustituimos, 2n^2 + 2n =0, factorizamos el 2, lo da 2(n^2 + n) = 0, y con esto podemos pasar el 2 al otro lado, n^2 + n = 0 / 2 = 0, y ahora no se me ocurrió hacer algo más que resolver con la ecuación cuadrática, donde tenemos n = (-1 ± √((1) ^2 – 4 (0) * (1))) / 2 (1) = -1 ± √1 - 0 / 2 = (-1 ± √1) / 2 = (-1 ± 1 )/ 2, para n₁ tenemos -1 + 1 / 2 = 0 / 2 = 0, y para n₂ tenemos -1 – 1 / 2 = -2 / 2 = -1, y recordando, cuando cos(χ) = 0, tenemos que χ = 90°, y que también puede valer 270° (pues 360°-90°=270°), y luego, cuando cos (χ) = -1, tenemos que solamente puede valer 180°, pues tanto 180° + 180° o 360° - 180° nos dan resultados inservibles.

 

10. 4 cos χ - 3 sec χ = 0                   Sol = 30°, 150°, 210°, 330°

Aquí tenemos el primer problema que nos presenta 2 variables diferentes, ok… me confundí con el seno y la secante jajaj, pero quise dejar esto por la risas :p, bueno ahora sí, los primero a hacer será transformar la secante a coseno, pues sec = 1 / cos, por lo tanto tenemos 4 cos χ – 3 / cos χ = 0, luego se me ocurrió multiplicar todo por cos χ, y tengo, (4 cos χ – 3 / cos χ)* cos χ = 0 * cos χ = 4 cos^2 χ – 3 = 0, y ya con esto podemos resolverlo de 2 maneras, con la ecuación general de las ecuaciones cuadráticas, o de una manera que no requiere formula, utilicemos esta, pasamos el -3 al otro lado y luego el 4 lo pasaremos dividiendo, nos queda cos^2 χ = 3 / 4, ahora pasaremos la potencia al cuadrado al otro lado en forma de raíz,  cos χ = √(3/4) = √3 / √4 = √3 / 2, y nuevamente, al tener un valor al cuadrado, debemos de obtener tanto √3 / 2 como -√3 / 2, para el primero los valores posibles son 30° y su conjugado es de 330°, y para el otro tenemos 150° y su conjugado que es 210°.

 

11. 4 sen χ - 3 csc χ = 0                   Sol = 60°, 120°, 240°, 300°

Aquí tenemos exactamente el mismo caso que en el anterior, por lo tanto haremos lo mismo primero transformaremos los csc en sen (csc = 1 / sen), luego multiplicaremos todo por sen χ para hacerlo todo más sencillo, es decir, 4sen χ – 3 / sen χ = 0, y luego (4sen χ – 3 / sen χ) sen χ = 0 * sen χ =4 sen^2 χ  - 3 = 0, y ahora si ya podemos despejar sen χ de esta manera, pasando el -3 al otro lado, luego pasaremos la potencia al cuadrado al otro lado en forma de raíz, dejándonos con sen χ = √(3/4) = √3 / √4 = √3 / 2, y también puede ser lo mismo que -√3 / 2, por lo tanto los posibles valores son 60° y su suplementario que es 120°, y para el valor negativo del sen χ, tenemos 240° y su opuesto respecto al diámetro del seno, que corresponde a 300°

 

12. 2 sen^2 χ = sen χ                      Sol = 0°, 180°, 360°, 30°, 150°

Bueno… esto es simple, lo primero será pasar el sen χ al otro lado, para hacerlo más rápido, en vez de pasarlo restando lo pasaremos dividiendo obteniendo así 2 sen^2 χ / sen χ = 1, y luego, 2sen χ = 1, para finalmente pasar el 2 al otro lado, dándonos sen χ = 1 / 2, donde obtendremos que χ = 30° y su suplementario de 150°, además, otro valor posible es 180°*n, ya que si pasamos restando el sen χ dándonos 2sen^2 χ – sen χ, y esto lo resolvemos como una ecuación cuadrática, uno de los posible valores del sen χ será 0, sinceramente admito ser flojo como para escribirlo jaja, pero creo que se entiende el porqué, además en todo caso, explicaré como obtenerlo de esta forma en el siguiente problema.

 

13. sen^2 χ = sen χ                         Sol = 0°, 180°, 360°, 90°

Bueno, esto es casi lo mismo que el anterior, pero más bonito a mi gusto, primero pasamos el sen χ al otro lado (restando), luego para poder obtener todos los resultados posibles de forma cómoda, y aquí quiero hacerlo con la formula general cuadrática (aunque también podemos hacer lo mismo que hice en el anterior problema), tenemos sen^2 χ – sen χ = 0, en esta ecuación cuadrática es fácil ver que a=1, b=1, y c=0, por lo tanto tenemos (-1 ± √((1)^2 – 4*(1)*(0)))/2(1) = (-1 ± √(1 – 0)) / 2 = (-1 ± √1) / 2 = (-1 ± 1) / 2, la primera posibilidad es donde -1 + 1 / 2 ocurre, terminando en 0 / 2 = 0, en este caso obtenemos la primera solución donde χ = 180°*n, es decir, puede ser igual a 0°, 180° o 360°, y la otra opción, es donde sen (χ) = -1 – 1 / 2 = -2 / 2 = -1, en este caso tenemos que χ puede valer 90°, el cual es suplementario consigo mismo, por lo tanto no tiene otra posibilidad de ser.

 

14. tan^2 χ + csc^2 χ - 3 = 0          Sol = 45°, 225°, 135°, 315°

Este problema es un tanto curioso, lo primero que se me ocurrió fue pasar todo a seno, pero llegue a la conclusión de que era muy tardado y complicado, por lo tanto, luego decidí pasar la cosecante a tangente, como estaba al cuadrado me sería más sencillo, entonces… sabemos que csc χ = √1 + cot^2 χ, por lo tanto csc^2 χ = 1 + cot^2 χ, y luego simplemente era pasar la cotangente a tangente, tan = 1 / cot, por lo tanto terminé con tan^2 χ + 1 + 1 / tan^2 χ – 3, para hacerlo más sencillo multipliqué todo por tan^2 χ, y ahora si, llegue a algo más bonito, tan^4 χ + tan^2 χ – 2, esto es una ecuación de cuarto grado, pero también se puede considerar de segundo grado, teniendo como respuesta tan χ = 1, -1, (si se toma como raíz de cuarto grado obtenemos número imaginarios, entre ellos √2*i y -√2 * i), y con esto, si nos fijamos en nuestra tabla trigonométrica tenemos para tan χ = 1, lo posibles valores de χ son 45° y este +180°, es decir, 225°, y para cuando tan χ = -1, los posibles valores de χ son 135° y este +180°, es decir 315°

 

15. 3 tan^2 χ - 4 sen^2 χ - 1 = 0    Sol = 

Aquí siendo sincero no se me ocurrió mucho de cómo resolverlo, pero lo que hice fue convertir la tangente a senos y cosenos, luego transformar los cosenos en senos, 3(sen^2 χ / cos^2 χ) – 4sen^2 χ – 1 = 0, después 3(sen^2 χ / 1 – sen^2 χ) – 4 sen^2 χ – 1 = 0, después pase el -4sen^2 χ – 1 al otro lado, 3sen^2 χ / 1 – sen^2 χ= 4sen^2 χ + 1, para después pasar el 1 – sen^2 χ al otro lado, 3sen^2 χ = (4sen^2 χ + 1) * (1 – sen^2 χ), después de multiplicar me queda 4sen^2 χ – 4sen^4 χ + 1  - sen^2 χ, simplificamos los términos, 3sen^2 χ – 4sen^4 χ + 1 = 3 sen^2 χ, cancelamos los 3sen^2 χ, -4 sen^4 + 1 = 0, o lo que es lo mismo, 4sen^4 χ – 1 = 0, pasamos el -1 al otro lado, 4sen^4 χ = 1, luego el 4, sen^4 χ = 1 / 4, y luego pasamos la potencia, sen χ = 4^√(1/4) = 4^√1 / 4^√4 = 1 / √2, lo cual podemos transformar en √2 / 2 multiplicando por √2 / √2, y así hacerlo más fácil de encontrar en una tabla, obteniendo 45° y su conjugado que es de 315°.

 

16. 2 cos^2 χ - cos χ = 1                 Sol = 120°, 240°, 360°

Aquí hay 2 formas de resolverlo, pero por preferencia utilizaré la formula general, pasaremos el 1 al otro lado y ya está, 2cos^2 χ – cos χ – 1, donde a=2, b=-1 y c=-1, tenemos que (-1 ± √((-1)^2 – 4*(2)*(-1)))/2(2) = (1 ± √(1 – (-8))) / 4 = (1 ± √9) / 4 = 1 ± 3 / 4, para el primer caso donde sea 1 + 3 / 4 = 4 / 4 = 1, y en este caso χ = 0° o lo que es lo mismo 360°, y cuando tenemos 1 – 3 / 4 = -2 / 4 = -1 / 2, y en este caso tenemos que χ = 120° y su conjugado que es de 240°.

 

17. 2 sen^2 α - 5 sen α = -2            Sol = 30°, 150°

Aquí solamente podemos realizar lo mismo que en el problema anterior, pasamos el -2 al otro lado, tenemos 2sen^2 α – 5 sen α + 2 = 0, luego es fácil notar que a=2, b=-5 y c=2, entonces (-5 ± √((-5)^2 – 4*(2)*(2)))/2(2) = (-5 ± √(25 – 16)) / 4 = (-5 ± √9) / 4 = (-5 ± 3) / 4, en el caso donde sen α = -5 + 3 / 4, tenemos 2 / 4 = 1/2, entonces tenemos 30° y su opuesto por el diámetro del seno 150°, y cuando tenemos sen α = -5 – 3 / 4 = -8 / 4 = -2 no hay respuesta, no es posible.

 

18. tan^2 α - sec α - 1 = 0              Sol = 60°, 300°, 180°

Lo primero que tenemos que hacer se transformar la tangente a secantes, pues tan^2 α = sec^2 α – 1, nos queda sec^2 α – 1 – sec α – 1 = sec^2 α – sec α – 2 = 0, y aquí entra nuevamente la formula cuadrática, en este caso tenemos a=1, b=-1, c=-2, entonces tenemos que sec α = (-(-1) ± √((-1)^2 – 4(1)(-2))) / 2(1) = (1 ± √(1 + 8)) / 2 = (1 ± √9) / 2 = (1 ± 3) / 2, si sec α = 1 + 3 / 2 = 4 / 2 = 2, entonces sus valores posibles son 60° y 300° (que es su conjugado), pero si sec α = 1 – 3 / 2 = -2 / 2 = -1, entonces sus posibles valores de α son 180°.

 

19. sen^2 χ - 2 cos χ = 0                 Sol = 65.53°, 294.27°.

Bueno, este no es tan complicado, lo primero será transformar los senos a cosenos, pues sen^2 = 1 - cos^2, entonces tenemos –cos^2 χ – 2cos χ + 1 = 0, nuevamente utilizaremos la formula general, con a=-1, b=-2 y c=1, cos χ = (-(-2) ± √((-2)^2 – 4*(-1)*(1))) / 2*(-1) = (2 ± √(4 + 4)) / -2 = (2 ± √8) / -2 = (2 ± 2√2) / -2 = -1 ± -√2), esto no me termina de agradar pues no es exacto, así que lo debemos de hacer en calculadora, donde llegaremos a que para cos χ = -1 -√2 no hay solución, pero para cos χ = -1 +√2, llegaremos a χ = 65.53°, y su conjugado de 294.47°.

 

20. sen χ + sen χ = 2                       Sol = 90°.

Este es relativamente sencillo, primero juntamos los senos, y luego factorizamos y quitamos el 2, 2sen χ = 2, entonces 2(sen χ = 1), para después tener sen χ = 1, y en este caso tenemos que para sen χ = 1, χ = 90°.

21. cos^2 χ = 1 / 4                                Sol = 120°, 240°, 60°, 300°

Este es igual que el anterior, sencillo, pasamos la potencia al otro lado en forma de raíz para después simplificar y luego con nuestra tabla trigonométrica obtener el resultado. Importante notar los 2 valores posibles de cos χ. cos χ = √1 / √4 = 1 / 2, por lo tanto χ = 60° y su conjugado que es 300°, para cos χ = -√1 / √4 = -1 / 2, por lo tanto tenemos que χ = 120° y su conjugado que es de 240°.

 

22. 4 sen^2 χ - 3 = 0                            Sol = 60°, 120°, 240°, 300°

Esto es sencillo, pasamos el 3 al otro lado, luego el 4 diviendo, después la potencia al cuadrado en forma de raíz para al final obtener χ. 4sen^2 χ = 3, sen^2 χ = 3 / 4, sen χ = √(3/4) = √3 / √4 = √3 / 2, para lo cual χ = 60° y su suplementario que es de 120°, y también debemos considerar su opuesto, -√3 / 2, para el cual tenemos que χ = 240° y su opuesto por el diámetro del seno, el cual es del 300°.

 

23. 4 sen χ - csc χ = 0                           Sol = 30°, 150°, 210°, 330°

Este es relativamente sencillo, transformamos el cosecante a seno, queda 4sen χ – 1 / sen χ = 0, multiplicamos todo por sen χ, 4sen^2 χ – 1 = 0, pasamos el -1 al otro lado, 4sen^2 χ = 1, pasamos el 4 dividiendo al otro lado, sen^2 χ = 1 / 4, y luego la potencia, sen χ = √(1 / 4) = √1 / √4 = 1 / 2, para lo cual χ puede valer 30° y 150° que es su suplementario, pero para cuando sen χ = -√(1 / 4) = -√1 / √4 = -1 / 2, entonces χ puede valer 210° y 330°, que son opuestos por el diámetro del seno.

 

24. 3 tan^2 χ - 1 = 0                            Sol = 30°, 210°, 150°, 330°

Despejaremos la tangente y es todo. 3tan^2 χ = 1, tan^2 χ = 1 / 3, tan χ = √1 / √3 = 1 / √3, es decir, √3 / √3 * √3 = √3 / 3, y en este caso, χ puede valer 30° y este más 180°, es decir, 210°, y para lo opuesto cuando tan χ = -√1 / √3 = -1 / √3, es decir, -√3 / √3 * √3 = -√3 / 3, χ puede valer 150° y este más 180°, es decir, 330°.

 

25. √3 csc^2 χ + 2 csc χ = 0                Sol = 240°, 300°, 60°, 120°

Dividiremos todo entre csc χ para empezar, tenemos √3 csc χ + 2 = 0, luego despejamos csc χ = -2 / -√3 = 2 / √3, o lo que es lo mismo, 2*√3 / √3 * √3 = 2√3 / 3, por lo tanto χ = 60° y su suplementario 120°, pero para cuando csc χ = -2√3 / 3, tenemos que χ = 240° y su opuesto por el diámetro del seno, 300°.

 

26. 2 cos χ - sec χ = 0                           Sol = 45°, 315°, 135°, 225°

Primero transformaremos los secantes en cosenos, lo que nos queda como 2cos χ – 1 / cos χ = 0, y luego multiplicaremos todo por cos χ, lo que nos queda como 2cos^2 χ – 1 = 0, luego pasamos el -1 al otro lado, y dividimos todo entre 2, para después pasar la potencia del lado izquierdo al otro lado. 2cos^2 χ = 1, cos^2 χ = 1 / 2, cos χ = √1 / √2 = 1 / √2 = 1 * √2 / √2 * √2 = √2 / 2, por lo tanto, χ puede valer 45° y 315° que es su conjugado, sin embargo, debemos considerar lo opuesto cuando cos χ = -√2 / 2, aquí χ = 135° y 225° que es su conjugado.

 

27. tan χ - 2 sen χ = 0                          Sol = 60°, 300°

Lo primero que debemos hacer para resolver esto, es pasar la tangente a senos y cosenos para que se nos haga más sencillo, (sen χ / cos χ) - 2 sen χ = 0, luego, lo que debemos de hacer es juntar los 2 términos en una misma fracción, para esto multiplicaremos el segundo término por cos χ / cos χ, lo que nos deja (sen χ / cos χ) - (2sen χ * cos χ / cos χ) = (sen χ - 2sen χ * cos χ) / cos χ = 0, luego para eliminar las fracciones y hacerlo más sencillo de entender pasaremos el cos χ al otro lado,  (sen χ - 2sen χ * cos χ) = 0 * cos χ, y, si nos damos cuenta, aquí podemos factorizar el seno: sen χ (1-2 * cos χ) = 0, y aquí, simplemente con el objetivo de dejar a todos los términos más simples, convertiremos los cosenos a senos, ya que cos χ = √1 - sen^2 α, y esto nos deja con sen χ (1 - 2√1 - sen^2 α) = 0, luego lo multiplicamos, nos queda sen χ – (2 sen χ) * (√1 - sen^2 α) = 0, luego pasaremos el – (2 sen χ) * (√1 - sen^2 α) al otro lado, lo que nos queda sen χ = (2 sen χ) * (√1 - sen^2 α), después pasaremos el (2 sen χ) al otro lado para cancelar los senos, dándonos sen χ / (2 sen χ) = 1 / 2 = √1 - sen^2 α, ahora para hacer esto más sencillo potenciaremos ambos miembros de la ecuación por 2, dándonos 1 / 4 =  1 - sen^2 α, pasamos el 1 al otro lado, dándonos - sen^2 α = - 3 / 4, pasamos ambos miembros a positivos al multiplicar por -1, sen^2 α = 3 / 4, y luego sacamos la raíz cuadrada de ambos miembros, dándonos sen α = √(3/4) = √3 / √4 = √3 / 2, e investigando llegamos a que α puede valer 60° y 120° su suplementario, para cuando los otros valores debemos considerar sen α = -√3 / 2, donde α = 240° y 300° (su opuesto por el diametro).

 

28. 4 cos^2 χ = 3                                  Sol = 30°, 150°, 210°, 330°

Aquí ya tenemos casi todo hecho, pues lo primero que haremos será pasar el 4 al otro lado, lo que nos deja con cos^2 χ = 3 / 4, aquí simplemente pasamos la potencia de 2 al otro lado en forma de raíz, para después simplificar la expresión llegaremos a la conclusión de: cos χ = √(3 / 4) = √3 / √4 = √3 / 2, y nuevamente, debemos de acordarnos de considerar a su hermano negativo, (-√3 / 2), por lo tanto tenemos que χ =  arccos (√3 / 4), arccos -√(3 / 4) primero obtendremos los valores del positivo, como arccos (√3 / 2) = 30°, el otro valor será 360°-30°=330°, y luego, para cuando χ arccos (-√3 / 2) = -30°, podemos transformarlo en 150°, pues 180° + (-30°) = 150°.

 

29. 4 cos^2 χ = 1                                  Sol = 60°, 300°, 120°, ­240°

Para este lo primero que debemos hacer es pasar el 4 al otro lado, cos^2 χ = 1 / 4, luego sacamos la raíz de todo, cos χ = √(1 / 4) = √1 / √4 = 1 / 2, en este caso χ = 60° y 300° que es su suplementario, sin embargo, para lo opuesto, cos χ = -1 / 2 = 120° y 240° que es su suplementario.

 

30. 2 sen^2 γ - 3 cos γ - 3 = 0              Sol = 210°, 330°, 270°

Lo primero será convertir los sen^2 γ a cosenos, ya que sen^2 γ = 1 – cos^2 γ, esto queda como 2 – 2cos^2 γ – 3cos γ – 3 = -2cos^2 γ – 3cos γ – 1, multiplicamos todo por -1, 2cos^2 γ + 3 cos γ + 1 = 0, y ahora formula general, nos queda que a=2, b=3, c=1, entonces tenemos -3 ± √(3)^2 – 4*(2)*(1))) / 2*(2) = (-3 ± √(9 – 8)) / 4 = (-3 ± √1) / 4 = (-3 ± 1) / 4. Si sen γ = -3 + 1 / 4 = -1 / 2, entonces γ = 210° y 330°, pues son opuestos por el diámetro del seno, y si sen γ = -3 – 1 / 4 = -4 / 4 = -1, entonces γ = 270°.

 

31. sec χ - √2 tan χ = 0                        Sol = 45°, 225°, 135°, 315°.

Lo primero será transformar las secantes en tangentes, pues sec = √1 + tan^2, entonces tenemos √(1 + tan^2 χ) - √2 tan χ = 0, elevamos todo al cuadrado para hacerlo más sencillo y tenemos, 1 + tan^2 χ – 2tan^2 χ = 1 – tan^2 χ = 0, luego simplemente pasamos el 1 al otro lado y multiplicamos ambos miembros por -1, tenemos tan^2 χ = 1, luego pasamos la potencia al otro lado, tan χ = 1, -1 y finalmente es fácil notar que lo posibles valores de χ son 45°, (45°+180°=)225°, 135°, y (135°+180°=)315°.

 

32. 3 cos^2 χ = sen^2 χ                       Sol = 60°, 120°, 240°, 300°

Lo primero que haremos será convertir el seno a coseno ya que se me hace más fácil trabajar con el coseno, esto ya que sen^2 = 1 – cos^2 χ, y luego lo pasamos al otro lado, lo que nos deja con 3cos^2 + cos^2 χ – 1 = 4cos^2 χ -1 = 0, luego pasamos el -1 al otro lado, 4cos^2 χ = 1, luego el 4, cos^2 χ = 1 / 4, luego sacamos la raíz de ambos miembros, cos χ = √1 / √4 = 1 / 2, por lo tanto en esta situación, el posible valor de χ es 60°, y su conjugado que es 300°, pero cos χ también puede ser -1 / 2, pues la raíces cuadradas tienen 2 posibles valores, en este caso χ = 120° y su conjugado de 240°.

 

33. 3 tan^2 α - 4√3 tan α = -3            Sol = 30°, 60°, 210°, 240°

Lo primero será pasar el -3 al otro lado, 3tan^2 α - 4√3 tan α +3 = 0, y creo que no es necesario decir que es lo que haremos a continuación, exacto, formula general, ahh, ya me cansé de utilizar esta fórmula tantas veces :C, tenemos a=3, b=4√3, c=3, (-(4√3) ± √(4√3)^2 – 4*(3)*(3))) / 2*(3) = (-4√3 ± √(48 – 36)) / 6 = (-4√3 ± √12) / 6 = (-4√3 ± 2√3) / 6 = (-2√3 ± √3) / 3, en el primer caso tenemos 2√3 - √3 / 3 = √3 / 3, en este caso α = 30°, 210° ya que es 30°+180°, y en el segundo caso tenemos 2√3 + √3 / 3 = 3√3 / 3 = √3, en este caso α = 60°, 240° ya que es 60°+180°.

 

34. 2 cos χ + sec χ - 3 = 0                    Sol = 0°, 360°, 60°, 300°

Lo primero a realizar será transformar los secantes a cosenos, sec = 1 / cos, entonces tenemos 2 cos χ + (1 / cos χ) – 3 = 0, luego para hacer todo más fácil multiplicamos todo por cos χ, lo que nos da 2 cos^2 χ + 1 – 3cos χ =0, y aca lo resolvemos con otra fórmula general, donde a=2, b=-3, c=1, y tenemos (-(-3) ± √(-3)^2 – 4*(2)*(1))) / 2*(2) = (3 ± √(9 – 8)) / 4 = (3 ± √1) / 4 = (3 ± 1) / 4, en el caso donde cos χ = 3 + 1 / 4  = 4 / 4 = 1, en este caso tenemos que χ = 0°, 360°, y en el otro caso donde cos χ = 3 - 1 / 4  = 2 / 4 = 1 / 2, y en este caso tenemos χ = 60° y su conjugado de 300°.

 

35. tan (45° - χ) + cot (45° + χ) = 4    Sol = 30°

Lo primero que haremos será pasar el 4 al otro lado y lo primero que se me ocurrió fue convertir la cotangente a tangente, pero jugando me di cuenta que no está así, es mejor convertir todo a seno y coseno, en este caso tenemos ((2cos χ – 2sin χ) / (cos χ + sin χ)) – 4, luego podemos juntar los 2 términos, quedándonos -2cos χ – 6sin χ / cos χ + sin χ, para después pasar el denominador al otro lado y como lo multiplica 0, nos quedamos con 2cos χ – 6sin χ = 0, dividimos todo entre 2, nos queda cos χ – 3sin χ, y esto lo podemos transformar en tangente con -1 - 3tan χ, despejamos la tangente pasando el 1 y el 3 al otro lado y llegamos a tan χ = 1 / 3, y con esto, llegamos a… siendo sincero no supe cómo resolver esto L, disculpa, espero lo pase pues resolví los demás.

 

36. csc^2 χ = 2 cot χ                            Sol = 45°, 225°

Lo primero será pasar la cot χ al otro lado, dándonos csc^2 χ – 2 cot χ = 0, luego transformamos todo a cot pues csc^2 χ = 1 + cot^2 χ, entonces tenemos 1 + cot^2 χ – 2 cot χ, y ahora… formula general, tenemos a=1, b=-2 y c=1, por lo tardado que es todo esto y porque llevo +5500 palabras me lo ahorrare, creo que es suficientemente obvio, básicamente llegaremos a que 2 ± √0 / 2, que siempre será igual a 1, y con esto, los únicos valores posibles para χ son 45° y (180°+45°=)225°

 

37. cos χ + 2 sen^2 χ = 1                     Sol = 0°, 360°, 120°, 240°

Ya finalmente el último problema, lo primero será pasar el 1 al otro lado, dándonos una ecuación de 2do grado, que por lo mismo que escribí en el problema anterior ya no escribiré el procedimiento completo, porque, en serio es necesario? No es obvio?, pero bueno, llegamos a esto 2sen^2 χ + cos χ – 1, donde cos χ = 1, -1 / 2, en el primer caso χ puede valer 0° y 360°, y para el segundo valor χ puede valer 120° y su conjugado de 240°.