Problemas de Identidades trigonométricas

Hecho por: González Salud Santiago                 Grupo: 208

Demostración de identidades trigonométricas.

1) sen α * sec α = tan α

Esta identidad es fácilmente demostrable ya que recordando, la tangente equivale a sen α / cos α, además, recordemos que secante equivale a 1 / coseno, con lo que tenemos sen α * 1 / cos α = sen α / cos α, lo cual se puede notar fácilmente que es verdad, pues sen α / cos α = sen α / cos α, además de que lógicamente 1 = 1

2) (sec α + 1) * (sec α - 1) = tan^2 α

Para resolver este simplemente deberemos de expandir el miembro izquierdo de la ecuación, lo que nos da sec^2 α + sec α - sec α - 1, cancelamos los sec α y obtenemos, sec^2 α - 1, y, si nos fijamos tenemos que tan α = √sec^2 α - 1, y si elevamos esto al cuadrado, tenemos que tan^2 α = sec^2 α - 1

3) cos α  * csc α = cot α

Esta identidad tiene el mismo sentido que la primera, pero para resolverlo simplemente podemos convertir el csc a sen, esto es fácil ya que csc = 1 / sen, y ahora si, multiplicamos, tenemos del lado izquierdo cos α * 1 / sen α = cos α / sen α = cot α, y si nos fijamos, cot α = cos α / sen α, por lo tanto ya esta demostrado.

4) (1 - cos α)  * (1 + cos α) = sen^2

Lo primero que debemos hacer es expandir el miembro izquierdo, obteniendo 1 + cos α - cos α - cos^2 α, o lo que es lo mismo, 1 - cos^2 α, y, si nos fijamos, sen α = √1 - cos^2 α, por lo tanto si elevamos estos 2 miembros al cuadrado obtendremos, sen^2 α = 1 - cos^2 α, y hemos demostrado lo que queriamos.

5) sec α * cot α = csc α

Este es relativamente sencillo pues solamente transformamos la secante a coseno, pues sec = 1 / cos, y luego sustituimos y simplificamos, 1 / cos * cot α = csc α = cot α / cos α, que es justo una de las identidades trigonométricas que tenemos en las imágenes de arriba, por lo tanto ya esta demostrado

6) (1 + csc α) * (1 - csc α) = -cot^2 α

Lo primero que debemos hacer es simplemente expandir el lado izquierdo de la ecuación, donde obtenemos 1 + csc α - csc α - csc^2 α = 1 - csc^2 α, y, es importante fijarnos que cot α = √csc^2 α - 1, por lo tanto cot^2 α = csc^2 α - 1, y luego únicamente falta multiplicar esto por -1 para tener justo lo que teníamos al principio, por lo tanto -cot^2 α = 1 - csc^2 α = (1 + csc α) * (1 - csc α), con lo cuál lo hemos demostrado.